По формулам приведения избавимся от сдвига в аргументах углов: sin(π+x) = -sin(x) и sin(

3π

2

+2x) = -cos(2x).
После этого получим: 10

3

sin(x) + 16 = -2cos(2x).
Заменим косинус двойного угла: 10

3

sin(x) + 16 = -2(1-2sin2(x)) (выбираем переход на sin(x), чтобы уравнение стало однородным).
Раскроем скобки, перенесём всё влево, приведём подобные слагаемые: -4sin2(x) + 10

3

sin(x) + 18 = 0.
Это однородное тригонометрическое уравнение. Заменим в нём sin(x) на t, оно станет таким: -4t2 + 10

3

t + 18 = 0.
Это квадратное уравнение, решим его: t1 = -

3

2

, t2 = 3

3

.
Сделаем обратную замену: sin(x) = -

3

2

, sin(x) = 3

3

.
Второе уравнение не имеет корней, а первое уравнение решаемо, его корни будут: x1 =

4π

3

+2πn,n∈Z и x2 =

5π

3

+2πn,n∈Z.